Joachim Ulbrich absolvierte sein Studium an der Musikhochschule Stuttgart bei Prof. Ricardo Odnoposoff mit den Abschlüssen Diplompädagoge und Künstlerische Ausbildung. 1980 erhielt er einen 1. Bundespreis bei "Jugend musiziert" und war Stipendiat der Kunststiftung Baden-Württemberg. Nach dem Studium folgten langjährige Tätigkeiten an Führungspositionen der Staatsoper Hannover und der Oper Frankfurt. Seit 1999 ist er Mitglied des Bayreuther Festspielorchesters.
Joachim Ulbrich ist regelmäßig im Orchester der Stuttgarter Staatsoper zu Gast.
Joachim Ulbrich ist Primarius des ENSEMBLE GRINIO, sowie Gründer und Konzertmeister der Camerata GRINIO, einem Kammerorchester aus hochkarätigen Musikern. 2011 wurde er als zweiter Geiger ins Hindemith-Quartett Frankfurt berufen. 2006 bis 2023 hatte er die Leitung der Streicherabteilung der Musikakademie Villingen-Schwenningen inne. Zudem ist er als Orchesterleiter und Kammermusikcoach tätig, u.a. beim Landesjugendorchester Hessen.
Joachim Ulbrich ist Gründer und Leiter der GRINIO AKADEMIE und Dozent für die Fächer Violine, Viola, Kammermusik und Orchestercoaching.